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用户输入：请在双重阻尼谐振系统中，推导受迫振动的稳态解振幅与外力驱动频率之间的共振曲线表达式。
DeepSeek-R1 深度推演过程 (耗时 2.1 秒)
1. 建立二阶非齐次常微分方程：\(m\ddot{x} + \gamma\dot{x} + kx = F_0 \cos(\omega t)\)。2. 引入固有角频率 \(\omega_0 = \sqrt{k/m}\) 与阻尼系数 \(\beta = \gamma/(2m)\)，简化为：\(\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_0^2 x = f_0 \cos(\omega t)\)。
3. 设复数特解 \(z(t) = A e^{i(\omega t - \phi)}\)，代入微分方程分离实虚部。
4. 得到稳态振幅解析式 \(A(\omega) = \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}}\)。
稳态振幅与共振响应解析：
在长时间外力驱动下，瞬态阻尼振荡衰减殆尽，系统进入角频率为 \(\omega\) 的稳态受迫振动。振幅解析式为： \[ A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\beta\omega)^2}} \] 当外力角频率满足 \(\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}\) 时，分母取极小值，系统发生振幅共振。在弱阻尼条件 \(\beta \ll \omega_0\) 下，共振峰极其尖锐，最大振幅近似为 \(A_{\max} \approx \frac{F_0}{2m\beta\omega_0}\)。
在长时间外力驱动下，瞬态阻尼振荡衰减殆尽，系统进入角频率为 \(\omega\) 的稳态受迫振动。振幅解析式为： \[ A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\beta\omega)^2}} \] 当外力角频率满足 \(\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}\) 时，分母取极小值，系统发生振幅共振。在弱阻尼条件 \(\beta \ll \omega_0\) 下，共振峰极其尖锐，最大振幅近似为 \(A_{\max} \approx \frac{F_0}{2m\beta\omega_0}\)。
FEATURE // 04
CHAIN-OF-THOUGHT
长程思维链透明可见
完整展现数学定理命题的假设、排除与分支校验过程，推理可复现可审计。
FEATURE // 05
CODE ARTIFACTS
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